뒹굴거리면서 글쓰기

계산기에서 루트를 무한히 누르면 어떻게 될까요? 한 번 생각해봅시다. 위의 움짤처럼 1이 됩니다. 그럼 루트를 무한히 씌웠을 때 왜 값이 1이 되는지 확인해보도록 하겠습니다. 증명 1. 임의의 양수를 x라고 하겠습니다. x에 루트를 n번 씌우면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 여기서 n을 ∞로 보내면 루트를 무한히 씌우는 것이 되는 것이죠. 그렇다면 아래와 같이 값이 1로 수렴하는 것을 볼 수 있습니다. 증명 2. 이번에는 양수 x에 루트를 무한히 씌운 값이 양의 값(t)에 수렴한다는 사실을 안다고 가정하고 풀이해보겠습니다. 그렇다면 식을 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 위 식에 한 번 더 루트를 씌워봅시다. 위 식은 모두 같은 값으로 수렴해야 하기 때문에 t와 √t가 같아야 합니다. 이를 만족하는 ..

1. 면 간 거리 공식 유도 면 간 거리란 인접한 2개의 평행한 면 사이의 거리입니다. 면 사이의 거리를 구하는 일반적인 방법은 면 위의 하나의 점에서부터 다른 평행면까지의 수직 거리를 구하는 것입니다. 여기서 면 간 거리를 쉽게 구하는 아이디어가 나오게 됩니다. 바로 면 위의 한 점을 원점으로 설정하는 것입니다. 그렇다면 가장 인접한 평행한 면은 원점을 항상 지날까요? 네 그렇습니다. 어떤 경우든 적절히 평행 이동한다면 원점을 지나도록 설정할 수 있습니다. 아래 그림도 마찬가지로 (120)평면에 가장 인접한 평행한 평면이 원점을 지나는 것을 확인할 수 있습니다. 즉, 면 간 거리란 원점에서부터 특정 면까지의 수직 거리입니다. 이를 토대로 증명을 시작해보겠습니다. △ ABC를 포함한 평면이 (hkl)이라..

한 물질을 파악하는 것에 있어서 결정 구조를 파악하는 것은 매우 중요합니다. 물질의 성질이 결정 구조에 따라서 결정되기 때문입니다. 이런 결정 구조를 설명할 때 원자를 하나의 구라고 가정해서 표현합니다. 또, 결정 구조를 설명하기 위해 반복되는 형태를 단위정(unit cell)이라고 정의합니다. 단위정을 수치로 잘 표현하기 위해서 변의 길이인 a,b,c와 각도 α,β,γ 가 나옵니다. x축 방향에 해당하는 변의 길이가 a, y축 방향에 해당하는 변의 길이가 b, z축 방향에 해당하는 변의 길이가 c입니다. 마찬가지로 y축과 z축 사이의 각도가 α, x축과 z축 사이의 각도가 β, x축과 y축 사이의 각도가 γ입니다. 이제 결정계 7가지를 소개하겠습니다. 1. 입방(cubic) a=b=c이고 α=β=γ=9..

OA=a, OB=b, OC=c 라고 하겠습니다. 또, OD와 x축이 이루는 각도는 θ_{1}, OD와 y축이 이루는 각도는 θ_{2}, OD와 z축이 이루는 각도는 θ_{3}라고 가정합니다. 이때 코사인 제곱의 합이 1임을 증명하겠습니다. 우선 피타고라스의 정리를 통해 OD의 길이를 구해보겠습니다. △ OAD를 보면 ∠ OAD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOA= θ_{1} 입니다. △ OBD를 보면 ∠ OBD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOB= θ_{2} 입니다. △ OCD를 보면 ∠ OCD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOC= θ_{3} 입니다. 이를..

1. 보강 간섭과 상쇄 간섭 서로 다른 파동들은 서로 합쳐져서 새로운 하나의 파동이 됩니다. 만약 위상이 정확히 같은 2개의 파동이 합쳐진다면 파장은 같고 진폭이 2배인 파동이 되는 것이죠. 이런 경우를 보강 간섭이라고 합니다. 반대로 파동의 위상이 정확히 반 파장 정도 차이가 난다면 일자 모양이 됩니다. 이런 경우를 상쇄 간섭이라고 합니다. 이 경우를 더 일반화해봅시다. 보강 간섭이 일어나는 경우는 위상차가 파장의 정수배 (λ, 2λ, 3λ, ···)인 경우입니다. 또, 상쇄 간섭이 일어나는 경우는 위상차가 반 파장의 정수배 (0.5λ, 1.5λ, 2.5λ, ···)인 경우입니다. 2. 원자에 X선을 비추면? X선을 원자에 비추면 어떻게 될까요? 일단 전자가 그 에너지를 모두 흡수합니다. 만약 그 세기..

3개의 벡터로 구성된 평행 육면체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 평행 육면체의 부피를 구하는 방법은 밑면의 넓이 * 높이입니다. 이를 다르게 표현하면 아래와 같습니다. 지금부터 밑면의 넓이 * 높이가 어떻게 위 식처럼 바뀌는지 살펴보겠습니다. 위 사진은 평행 육면체의 밑면만을 그린 그림입니다. 사각형 OACB의 넓이는 밑변 * 높이로 구할 수 있습니다. OA의 길이는 벡터 a의 크기와 같습니다. 또 CH의 길이는 벡터 b의 크기에 sinθ를 곱한 값과 같습니다. 즉, 사각형 OACB의 넓이는 a벡터와 b벡터의 외적값과 같습니다. 이제 평행 육면체의 높이를 구해봅시다. c 벡터와 z축이 이루는 각도를 α라고 하겠습니다. 이때 평행 육면체의 높이에 해당하는 OE의 길이는 c 벡터의 크기에 c..

1. 역격자 기저 벡터(basis vector) 결정 격자의 기저 벡터를 a_{i} 그리고 역격자의 기저 벡터를 a_{j}* 라고 표시하겠습니다. 기저 벡터는 단위 벡터와 다르게 서로 다른 길이를 가질 수 있습니다. 위 식을 만족하는 벡터 a_{j}*를 역격자 기저 벡터라고 정의합니다. 벡터의 삼중적과 역격자 기저 벡터의 정의를 활용해서 역격자를 다르게 표현하겠습니다. 벡터 a_{2}*와 a_{3}*에 대해서도 같은 과정을 반복하면 아래 결과를 얻을 수 있습니다. 2. 역격자 벡터의 성질 g는 역격자 벡터입니다. 역격자 벡터를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 역격자 벡터의 성질을 1과 2에 나타냈습니다. 결정 격자에서의 (hkl)이 평면이었다면 역격자에서는 (hkl)이 점으로 나타납니다. 예를 들어서..

1. 결정 구조에서 밀도 계산 밀도의 정의부터 살펴보겠습니다. 밀도=질량/부피입니다. 즉, 밀도를 알기 위해서는 부피와 질량을 알아야 합니다. 그렇다면 부피와 질량은 어떻게 구할 수 있을까요? 부피와 질량을 구하기 위해서는 결정 구조를 파악하는 것이 중요합니다. 결정 구조가 주어진다면 (1)원자의 반지름과 단위정 부피의 관계 그리고 (2)결정 구조 안에 들어 있는 원자의 개수를 알 수 있기 때문입니다. (1)원자의 반지름과 단위정 부피의 관계와 원자 반지름을 안다면 단위정의 부피를 구할 수 있습니다. 예를 들어, FCC구조의 부피는 V= 16√2×R^3입니다. 여기에 R 값만 안다면 부피를 구할 수 있는 것이죠. 또 (2)결정 구조 안에 들어 있는 원자의 개수는 질량을 구하는 것에 큰 역할을 합니다. 단..

1. 가우스 적분이란? 위 식을 적분하는 것을 가우스 적분이라고 합니다. 이는 직교 좌표계로는 적분할 수 없기 때문에 극좌표계를 활용해야 합니다. 극좌표계는 고등학교 교과과정에 포함되지 않기 때문에 포스팅 제목을 다소 자극적으로 적었습니다. 2. 대표적인 가우스 적분값 구하기 위 식의 가우스 적분값을 구해보겠습니다. 위 식을 곱하면 아래 식을 만들 수 있습니다. 여기서 시그마의 성질에 대해서 생각해보아야 합니다. 이 성질을 활용한다면 곱으로 표현된 적분을 이중적분으로 바꿀 수 있습니다. 여기서 이제 직교 좌표를 극좌표로 변환해야합니다. 변환 공식은 다음과 같습니다. ※ dxdy는 직교 좌표계에서의 미소 면적입니다. 극좌표계에서의 미소 면적은 rdrdθ입니다. 반지름의 길이가 dr만큼 변했을 때 호의 길이..

1. 오일러 공식이란? 오일러 공식은 삼각 함수와 지수 함수의 관계를 보여준 공식입니다. 식은 아래와 같습니다. 위 식에 x에 π를 대입합시다. 이 식은 세상에서 가장 아름다운 수학 공식으로 불리는 오일러 등식입니다. 2. 오일러 공식 증명 z=cosx+isinx 라고 가정합시다. z를 x에 대해 미분하겠습니다. 이때 i * i = -1을 활용해서 위 식을 다시 정리해줍니다. 이 식을 다시 적분하기 용이하게 정리한 다음에 적분하겠습니다. 앞서 정의한 z식을 보면 x=0을 대입했을 때 z=1임을 알 수 있습니다. 즉, 적분 상수 C가 0입니다. 3. 오일러 공식은 어디에 활용되는가? 오일러 공식은 삼각 함수를 지수 함수로 바꿔서 표현합니다. 이 지수 함수는 삼각 함수에 비해 미적분 계산에 용이하다는 장점이..