| 1. 역격자 기저 벡터(basis vector) |
결정 격자의 기저 벡터를 a_{i} 그리고 역격자의 기저 벡터를 a_{j}* 라고 표시하겠습니다. 기저 벡터는 단위 벡터와 다르게 서로 다른 길이를 가질 수 있습니다.
위 식을 만족하는 벡터 a_{j}*를 역격자 기저 벡터라고 정의합니다. 벡터의 삼중적과 역격자 기저 벡터의 정의를 활용해서 역격자를 다르게 표현하겠습니다.
벡터 a_{2}*와 a_{3}*에 대해서도 같은 과정을 반복하면 아래 결과를 얻을 수 있습니다.
| 2. 역격자 벡터의 성질 |
g는 역격자 벡터입니다. 역격자 벡터를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
역격자 벡터의 성질을 1과 2에 나타냈습니다.
결정 격자에서의 (hkl)이 평면이었다면 역격자에서는 (hkl)이 점으로 나타납니다. 예를 들어서 설명해보겠습니다. 입방 결정 격자에서 (010) 평면이었다면 역격자에서는 점 좌표 (0,1,0)이 되는 것이죠.
그럼 이제 g 벡터와 평면 (hkl)이 수직함을 증명하겠습니다.
점 A,B,C로 이루어진 평면을 (hkl)이라고 하겠습니다. 밀러 지수의 정의를 역으로 이용해 OA 벡터, OB 벡터, OC 벡터를 알아냈습니다. 밀러 지수를 활용하면 x축과의 교점 A의 좌표는 (a/h,0,0)입니다. 기저 벡터 a_{1} 의 크기가 a임을 활용해서 각각의 벡터를 아래에 나타냈습니다.
이제 g 벡터와 AB를 내적한 값이 0임을 통해 둘이 수직함을 보이겠습니다.
위와 같은 방법을 적용하면 g 벡터와 선분 BC, g 벡터와 선분 AC가 각각 수직함을 증명할 수 있습니다. 즉, g 벡터가 AB, BC, AC와 모두 수직하기 때문에 평면(hkl)과도 수직합니다.
ⓐ에서 g 벡터가 (hkl)의 법선 벡터임을 확인했습니다. 선분 OH의 길이인 d는 선분 OA에 OH 방향의 단위벡터를 내적해서 구할 수 있습니다.
역격자 벡터의 정의에 의해 a_{1} 벡터와 g 벡터를 내적하면 h가 됩니다.
| 3. 역격자는 왜 필요한가? |
실험 결과로 나온 X선 회절 무늬를 분석하는데 역격자를 활용하면 큰 도움이 됩니다. 따라서 역격자라는 가상의 공간을 설정합니다.
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