뒹굴거리면서 글쓰기

계산기에서 루트를 무한히 누르면 어떻게 될까요? 한 번 생각해봅시다. 위의 움짤처럼 1이 됩니다. 그럼 루트를 무한히 씌웠을 때 왜 값이 1이 되는지 확인해보도록 하겠습니다. 증명 1. 임의의 양수를 x라고 하겠습니다. x에 루트를 n번 씌우면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 여기서 n을 ∞로 보내면 루트를 무한히 씌우는 것이 되는 것이죠. 그렇다면 아래와 같이 값이 1로 수렴하는 것을 볼 수 있습니다. 증명 2. 이번에는 양수 x에 루트를 무한히 씌운 값이 양의 값(t)에 수렴한다는 사실을 안다고 가정하고 풀이해보겠습니다. 그렇다면 식을 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 위 식에 한 번 더 루트를 씌워봅시다. 위 식은 모두 같은 값으로 수렴해야 하기 때문에 t와 √t가 같아야 합니다. 이를 만족하는 ..

OA=a, OB=b, OC=c 라고 하겠습니다. 또, OD와 x축이 이루는 각도는 θ_{1}, OD와 y축이 이루는 각도는 θ_{2}, OD와 z축이 이루는 각도는 θ_{3}라고 가정합니다. 이때 코사인 제곱의 합이 1임을 증명하겠습니다. 우선 피타고라스의 정리를 통해 OD의 길이를 구해보겠습니다. △ OAD를 보면 ∠ OAD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOA= θ_{1} 입니다. △ OBD를 보면 ∠ OBD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOB= θ_{2} 입니다. △ OCD를 보면 ∠ OCD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOC= θ_{3} 입니다. 이를..

3개의 벡터로 구성된 평행 육면체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 평행 육면체의 부피를 구하는 방법은 밑면의 넓이 * 높이입니다. 이를 다르게 표현하면 아래와 같습니다. 지금부터 밑면의 넓이 * 높이가 어떻게 위 식처럼 바뀌는지 살펴보겠습니다. 위 사진은 평행 육면체의 밑면만을 그린 그림입니다. 사각형 OACB의 넓이는 밑변 * 높이로 구할 수 있습니다. OA의 길이는 벡터 a의 크기와 같습니다. 또 CH의 길이는 벡터 b의 크기에 sinθ를 곱한 값과 같습니다. 즉, 사각형 OACB의 넓이는 a벡터와 b벡터의 외적값과 같습니다. 이제 평행 육면체의 높이를 구해봅시다. c 벡터와 z축이 이루는 각도를 α라고 하겠습니다. 이때 평행 육면체의 높이에 해당하는 OE의 길이는 c 벡터의 크기에 c..

1. 가우스 적분이란? 위 식을 적분하는 것을 가우스 적분이라고 합니다. 이는 직교 좌표계로는 적분할 수 없기 때문에 극좌표계를 활용해야 합니다. 극좌표계는 고등학교 교과과정에 포함되지 않기 때문에 포스팅 제목을 다소 자극적으로 적었습니다. 2. 대표적인 가우스 적분값 구하기 위 식의 가우스 적분값을 구해보겠습니다. 위 식을 곱하면 아래 식을 만들 수 있습니다. 여기서 시그마의 성질에 대해서 생각해보아야 합니다. 이 성질을 활용한다면 곱으로 표현된 적분을 이중적분으로 바꿀 수 있습니다. 여기서 이제 직교 좌표를 극좌표로 변환해야합니다. 변환 공식은 다음과 같습니다. ※ dxdy는 직교 좌표계에서의 미소 면적입니다. 극좌표계에서의 미소 면적은 rdrdθ입니다. 반지름의 길이가 dr만큼 변했을 때 호의 길이..

1. 오일러 공식이란? 오일러 공식은 삼각 함수와 지수 함수의 관계를 보여준 공식입니다. 식은 아래와 같습니다. 위 식에 x에 π를 대입합시다. 이 식은 세상에서 가장 아름다운 수학 공식으로 불리는 오일러 등식입니다. 2. 오일러 공식 증명 z=cosx+isinx 라고 가정합시다. z를 x에 대해 미분하겠습니다. 이때 i * i = -1을 활용해서 위 식을 다시 정리해줍니다. 이 식을 다시 적분하기 용이하게 정리한 다음에 적분하겠습니다. 앞서 정의한 z식을 보면 x=0을 대입했을 때 z=1임을 알 수 있습니다. 즉, 적분 상수 C가 0입니다. 3. 오일러 공식은 어디에 활용되는가? 오일러 공식은 삼각 함수를 지수 함수로 바꿔서 표현합니다. 이 지수 함수는 삼각 함수에 비해 미적분 계산에 용이하다는 장점이..