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OA=a, OB=b, OC=c 라고 하겠습니다. 또, OD와 x축이 이루는 각도는 θ_{1}, OD와 y축이 이루는 각도는 θ_{2}, OD와 z축이 이루는 각도는 θ_{3}라고 가정합니다. 이때 코사인 제곱의 합이 1임을 증명하겠습니다.
우선 피타고라스의 정리를 통해 OD의 길이를 구해보겠습니다.
△ OAD를 보면 ∠ OAD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOA= θ_{1} 입니다.
△ OBD를 보면 ∠ OBD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOB= θ_{2} 입니다.
△ OCD를 보면 ∠ OCD = 90º이고 선분 OD가 빗변임을 확인할 수 있습니다. 앞선 정의에 따라 ∠ DOC= θ_{3} 입니다.
이를 종합하면 다음과 같습니다.
위 식은 a,b,c와 관계없이 항상 성립합니다. a,b,c에 제한이 없다는 말은 선분 OD가 3차원 공간 상에서 임의의 선분이 될 수 있다는 말과 같습니다.
"3차원 공간 상에 있는 어느 한 직선과 x축, y축, z축이 이루는 각들의 코사인 제곱합은 1이다."
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